+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Геометрия 8 класс основные определения и теоремы

Геометрия 8 класс все правила и теоремы и доказательства

Геометрия 8 класс основные определения и теоремы

Трапеция

Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция

☑ 6. Прямоугольник☑ 7. Ромб☑ 8. Квадрат☑ 9. Теорема Чевы☑ 10. Теорема Менедая☑ 11. Теорема синусов☑ 12. Теорема косинусов☑ 13.

Площадь треугольника☑ 14. Площадь многоугольников☑ 15. Равносторонний (правильный) треугольник☑ 16. Подобные треугольники☑ 17. Признаки подобия треугольников☑ 18.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 37).

  • Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.
  • Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
  • Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
  • Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
  • (Т.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  • Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
  • (Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
  • Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Внимание

Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом. Обозначение: г или R. На рисунке ОС = ОЕ = OD = R. Часть окружности (например, CmD) называется дугой.

Важно

Обозначение: d или D. D = 2R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом.

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (∠COD на рис.
37). Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ∠ABC).☑ 19.

Геометрия 8 класс все правила и теоремы и доказательства по геометрии

«

Краткий курс геометрии 8 класс»

«Краткий курс геометрии 8 класс» — это краткие теоретические сведения по курсу геометрии за 8 класс (определения, теоремы, основные свойства). Цитаты взяты в учебных целях из пособия «Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень): 8 класс / Э.Н.Бабаян.

— Ростов н/Д: Феникс.

Планиметрия

☑ 1.Многоугольник

ABCDE — пятиугольник (рис. 11). Точки А, В, С, D, Е — вершины многоугольника; ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E — углы; АВ, ВС, CD и т.
д.

— стороны; отрезки АС, AD, BE, BD, СЕ — диагонали; Р = АВ + ВС + … + ЕА — периметр многоугольника. Многоугольник называется выпуклым (см. рис.

11), если он целиком расположен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
В противном случае многоугольник называется невыпуклым (рис. 12).

Геометрия 8 класс все правила и теоремы и доказательства в гражданском процессе

диагональю многоугольника.

  • Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
  • Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n–2)·180°.
  • Четырёхугольник – это многоугольник у которого четыре вершины и четыре стороны.
  • Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными.
  • Две вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
  • Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
  • Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  • (Свойства параллелограмма) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

R, равна а = 2R sin(180°/n). 7. Длина стороны правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса r, равна а = 2r tg(180°/n).☑ 3. Четырехугольник☑ 4. Параллелограмм

Признаки параллелограмма (рис. 48)

  1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (АВ = DC, АВ || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
  2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (АВ = DC, AD = DC), то такой четырехугольник — параллелограмм.
  3. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C; ∠B = ∠D), то такой четырехугольник — параллелограмм.
  4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.

☑ 5.
Перпендикуляр

Признаки и свойства параллельных прямых, теоремы о единственности восстановленного и опущенного перпендикуляров, об углах с соответственно параллельными сторонами, о двух прямых параллельных третьей и о двух перпендикулярах к одной прямой.

Уроков: 9.

Признаки подобия треугольников

Формулировка и доказательство трех признаков подобия треугольников. Лемма о прямой, параллельной стороне треугольника. Геометрические построения циркулем и линейкой.

Уроков: 6.

Свойства выпуклых многоугольников.
Параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб

Теорема о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника. Доказательства признаков и свойств параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата.

Фалеса и Пифагора.

Также вживую перед камерой выполнены построения циркулем и линейкой: построение отрезка равного данному, угла равного данному, биссектрисы угла, середины отрезка, перпендикуляра к прямой, касательной к окружности, треугольников по трём элементам, среднего, третьего и четвёртого пропорционального, деление отрезка на равные части.

Чтобы учащиеся могли на практике проверить полученные знания, мы снабжаем видеоуроки текстовыми и иллюстрированными тестами, содержащими вопросы по теме урока.

Начальные геометрические сведения

Базовые понятия геометрии — аксиома, теорема, прямая, отрезок, луч, угол и виды углов, треугольник и виды треугольников, медиана, биссектриса, высота, окружность, радиус, диаметр, четырехугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция.

Уроков: 10.

Свойства треугольника

Равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

8.6.Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

8.7.Теорема (о касательной и секущей). Если из точки М, лежащей вне окружности, проведены касательная МС и секущая МВ, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

, где А и В-точки пересечения с окружностью секущей соответственно, считая от М.

8.8. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

  • (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Возможно Вас так же заинтересует:

Источник: http://faktorion.ru/geometriya-8-klass-vse-pravila-i-teoremy-i-dokazatelstva

Конспект

Геометрия 8 класс основные определения и теоремы

«Краткий курс геометрии 8 класс» — это краткие теоретические сведения по курсу геометрии за 8 класс (определения, теоремы, основные свойства). Цитаты взяты в учебных целях из пособия «Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень): 8 класс / Э.Н.Бабаян. — Ростов н/Д: Феникс.

ABCDE — пятиугольник (рис. 11). Точки А, В, С, D, Е — вершины многоугольника; ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E — углы; АВ, ВС, CD и т. д. — стороны; отрезки АС, AD, BE, BD, СЕ — диагонали; Р = АВ + ВС + … + ЕА — периметр многоугольника.Многоугольник называется выпуклым (см. рис.

11), если он целиком расположен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется невыпуклым (рис. 12).
Свойства1. Сумма внутренних углов произвольного n-угольника равна 180° • (n — 2).2.

Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.3. В выпуклом n-угольнике из каждой вершины можно провести (n — 3) диагоналей, которые разбивают n-угольник на (n — 2) треугольников.

4.

В выпуклом n-угольнике число диагоналей равно n(n — 3)/2.

☑  2. Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, называется правильным.
Свойства
1. Каждый угол правильного n-угольника равен аn = 180°(n — 2)/n2. Около правильного n-угольника можно описать окружность, и притом только одну.3. В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом только одну.4.

Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех сторон n-угольника в их серединах.5. Центр окружности, описанной около правильного n-угольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же n-угольник.6. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна а = 2R sin(180°/n).

7.

Длина стороны правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса r, равна а = 2r tg(180°/n).

☑ 4. Параллелограмм

Признаки параллелограмма (рис. 48)

  1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (АВ = DC, АВ || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
  2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (АВ = DC, AD = DC), то такой четырехугольник — параллелограмм.
  3. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C; ∠B = ∠D), то такой четырехугольник — параллелограмм.
  4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.

☑ 5. Трапеция

Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция

☑ 18. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 37).Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом. Обозначение: г или R.На рисунке ОС = ОЕ = OD = R.Часть окружности (например, CmD) называется дугой.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, — диаметром.АВ, ВС, CD и СЕ — хорды окружности. СЕ — наибольшая из хорд — диаметр.Обозначение: d или D. D = 2R.Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом.Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (∠COD на рис. 37).

Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ∠ABC).

☑  19. Свойства касательных к окружности

Угол, образованный двумя касательными (СА и СВ), исходящими из одной точки, называется описанным (∠ACB на рис. 38).1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

☑  20. Окружность и треугольник

1. Около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности является точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины (рис. 39).
2. Во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности является точка пересечения биссектрис (рис. 40).

☑ 25. Уравнение окружности

Вы смотрели «Краткий курс геометрии 8 класс» — все определения, теоремы и основные свойства из Геометрии за 8 класс. Выберите дальнейшие действия:

Источник: https://uchitel.pro/%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8-8-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81/

Геометрия 8 класс основные определения и теоремы

Геометрия 8 класс основные определения и теоремы

Определения Многоугольник-геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные-не имеют общих точек. Выпуклый многоугольник, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Параллелограмм-четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Трапеция-четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие-не параллельны. Основания трапеции-её параллельные стороны, две другие не параллельные-боковые стороны трапеции.

Равнобедренна трапеция, если её боковые стороны равны. Прямоугольная трапеция, если один из её углов прямой. Прямоугольник-параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб-параллелограмм, у которого все стороны равны.

Теория по геометрии 7-9 класс

1 Виды углов: · острый угол – от 0 до 90 градусов; · прямой угол – равен 90 градусам; · тупой угол – от 90 до 180 градусов; · развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.

Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов. Перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.

Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один. Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Виды треугольников:

Урок геометрии в 8 классе по теме: «Площади фигур.

Теорема Пифагора»

Разделы: , Тема: “Площади” в курсе геометрии 8-го класса включает изучение вопросов:

  • “Площадь трапеции”
  • “Площадь параллелограмма”
  • “Площадь треугольника”
  • “Теорема Пифагора”

Основная цель: создать условия для формирования учащимися понятия площади, развития умений вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы, а также теорему Пифагора.

Данный урок – обобщающий по теме “Площади” и “Теорема Пифагора”, проводится для отработки навыков применения формул при вычислении площадей фигур, нахождении неизвестных сторон и высот плоских фигур. Урок разработан на основе программы и УМК учебника “Геометрия 7-9” авторов Л.

С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, и других на основе применения технологии И. С. Якиманской. Представленная разработка соответствует содержанию, целям и задачам геометрии указанной теме урока.

advocate-general.com

20.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

30. Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. 40. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. 6.11. Свойство второй средней линии трапеции: Пусть средняя КN-вторая средняя линия трапеции с основаниями ВС и АD, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции М.

Следовало объяснить: «Что означает треугольник, вписанный в круг?» Человек проводил 12 часов наедине с этой задачей, имея кружку воды и кусок хлеба; затем его вводили в залу собраний, где были в сборе все ученики, которые должны были провоцировать его па негодование — смеяться и т. п.— а он — показать свой разум и воздержанность; многие плакали, грубили, бросали доску, бранили школу и т.

п.; тогда выходил Пифагор и объявлял, выдержал ли испытуемый экзамен и принят ли в школу).

Геометрия

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.

Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны: 1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны; 2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях.

Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске. 3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами! Напишите мне по адресу: или сразу добавляйтесь ко мне в скайп, и мы обо всём договоримся.

Цены доступные. P.S. Возможны занятия в группах по 2-4 учащихся. С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко.

Друзья! Весь справочный материал (и по алгебре, и по геометрии) в виде сборника 431 формул и правил .

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

1 Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С.

а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р — периметр, полупериметр, R и r радиусы соответственно описанном и вписанной окружностей. S — площадь фигуры, d 1,d 2 — диагонали четырехугольника, угол между прямыми a и b; знаки, параллельности, перпендикулярности, подобия соответственно. О определение, Т теорема. Т 1.

7): Две прямые параллельны, если: внутренние накрест лежащие углы равны: < 3>< 5; внешние накрест лежащие углы равны:>< 1>< 7; соответственные углы равны:>< 5; сумма внутренних односторонних>

Люди помогите! Помогите плиз!

еорема 6.1.

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.Теорема 6.2 (Обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.Теорема 6.3.

У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.Теорема 6.4.

Диагонали прямоугольника равны.Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.Теорема 6.6 (Теорема Фалеса).

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Теорема 6.9.

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.Теорема 7.1.

comphelp64.ru

Читаем: ИЗ ДАННОЙ ТОЧКИ, КОТОРАЯ ЛЕЖИТ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ К ДАННОЙ ПРЯМОЙ В ДАННОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ МОЖНО ВОССТАВИТЬ ТОЛЬКО ОДИН ПЕРПЕНДИКУЛЯР.

26. Биссектриса – полупрямая, которая исходит из вершины угла и делит угол пополам. 27. Признаки равенства треугольников. Следствие.

– если две стороны и угол , заключённый между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны; – если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны; – если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

СЛЕДСТВИЕ. Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Теоремы за 7 8 класс

Ответ оставил Гость За 8 класс( по геометрии)Теорема 6.1. Еслидиагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятсяпополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.Теорема 6.2 (Обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.Теорема 6.3.

У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.Теорема 6.4.

Диагонали прямоугольника равны.Теорема 6.5.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.Теорема6.6 (Теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороныугла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекаютравные отрезки и на другой его стороне.Теорема 6.7.

Средняялиния треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельнатретьей стороне и равна её половине.Теорема 6.8.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.Теорема 6.9.

Теория по геометрии за 8 класс по учебнику Л.С. Атанасяна — файл n1.docx

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника.

Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника.Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.Площадь трапеции равна произведению длины средней линии трапеции на высоту.Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если

Все правила и теоремы по геометрии за 8 класс

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок» Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы 7 класс Глава I Начальные геометрические сведения Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.

Луч-часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.

Угол-часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Равные фигуры-фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.

Середина отрезка-точка на отрезке, делящая его пополам.

Биссектриса угла-луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

Единицы измерения углов: градус, минуты, секунды.

Возможно Вас так же заинтересует:

Источник: http://nwlb.ru/geometrija-8-klass-osnovnye-opredelenija-i-teoremy-21625/

Определения, теоремы (Геометрия I четверть 7 класс) — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В

Геометрия 8 класс основные определения и теоремы

1. Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
2.В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
3.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
4. Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.
5.

Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).
6. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
7. Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
8.

Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
9.Угол называется прямым, если он равен 90°.
10. Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
11. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е.

больше прямого, но меньше развёрнутого).
12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
13. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
14.

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
15 Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
16.

Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
18.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
19.Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
20.

Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.21.(Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

22. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.

23. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
24. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.

Теоремы

Теорема 1: Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Доказательство от противного. Есть две прямые АА1 и ВВ1 перпендикулярны к прямой PQ одновременно.

Предположим, что, продолжая прямые, можно достичь некоторой точки M, в которой они пересекаются. Перегнем плоскость вдоль прямой PQ. В этом случае углы при данных прямых накладываются друг на друга, а наложенные лучи совпадают.

При этом точка М, получит проекцию некоторой точки M1 (при пересечения АА1 и ВВ1 в нижней полуплоскости) . Это будет означать, что две прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в двух точках М и М1.

Но через любые две точки на плоскости можно провести только одну прямую! Таким образом, предположение о том, что данные прямые пересекаются неверно. Следовательно, две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Что и требовалось доказать.

Теорема 2
Первый признак равенства треугольников ( по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Так как ∠A=∠A1, то можно треугольник A1B1C1 наложить на треугольник ABC так, чтобыточка A1 совместилась с точкой A,луч A1C1 наложился на луч AC,луч A1B1 — на луч AB.

Так как AB=A1B1, то при таком наложении сторона A1B1 совместится со стороной AB, а значит, точка B1 совместится с точкой B.Аналогично, сторона A1C1 совместится со стороной AC, а точка C1 — с точкой C.Следовательно, сторона B1C1 совместится со стороной BC.

Значит, при наложении треугольники полностью совместятся, поэтому ΔABC= ΔA1B1C1 (по определению).

Что и требовалось доказать.

Теорема 3
Теорема единственности перпендикуляра, проведенного из произвольной точки к заданной прямой
Из любой точки А, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к прямой. К тому же этот перпендикуляр единственный.

Дано: точка А не принадлежит прямой a.

Доказать: существует единственный отрезок АН, где АН- перпендикуляр к a из точки A.

Доказательство:

1. Построим 2 равных угла. ∠АВС =∠МВС или ∠1 = ∠2.

2. Равные углы можно совместить наложением. При этом точка А перейдет в точку A1. ВА = ВA1(перегибание по прямой ВС).

3. Соединим точки А и A1. Получим точку Н. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНA1 = ∠4.

4. Так как ∠1 = ∠2,ВА = ВA1, BC- общая,то треугольники ВНА = ВНA1 по первому признаку равенства треугольников, то есть по углу и двум прилежащим сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство всех элементов. А значит, ∠3 = ∠4. Эти углы лежат против равных сторон. Два смежных равны только в случае, если каждый из них равен по 90°. А значит, АН ⊥ ВС.

Мы доказали, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой a.

Единственность перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой, докажем методом «от противного».

5. Предположим, что из точки А можно провести к прямой a два разных перпендикуляра.

АН ⊥ a, АH1 ⊥ a.

Это невозможно, поскольку из разных точек прямой a проведены 2 перпендикуляра, которые имеют общую точку А. Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно. Из точки А можно провести лишь один перпендикуляр к прямой a. Теорема доказана.

Задачи

Из учебника «Геометрия», под редакцией Атанасян Л.С. и др
стр. 26 №74,78, стр. 31 №96

Источник: https://blackseaweb.ru/2018/10/28/opredeleniya-teoremy-i-zadachi-dlya-zacheta-za-i-uyu-chetvert/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.